الفيزياء · الفصل الأول — الميكانيكا (القوى والحركة)
حركة المقذوفات بزاوية
سؤال الدرس
عند أعلى نقطة في مسار كرة مقذوفة بزاوية، هل تصل الكرة إلى حالة سكون لحظي؟
ستتعلم أن
بنهاية هذا الدرس، ستكون قادرًا على أن:
- ١تشرح كيف يمكن تحليل مقذوف أُطلق بزاوية إلى مركبتي حركة مستقلتين.
- ٢تحسب زمن الطيران وأقصى ارتفاع ومدى مقذوف أُطلق بزاوية.
- ٣تصف حركة المقذوف عند أعلى نقطة، بما في ذلك مركبتَي سرعته الأفقية والرأسية.
الظاهرة — توقَّع قبل أن تستمر
شاهد إعادة بالحركة البطيئة لركلة قدم حرة. تغادر الكرة قدم اللاعب، وترتفع، ويبدو أنها تتوقف للحظة عند أعلى نقطة في مسارها قبل أن تهبط نحو المرمى. يصف المعلقون هذا أحيانًا بـ«زمن التحليق». شاهد الإعادة مرة أخرى وركِّز على أعلى نقطة: هل تكون الكرة في حالة سكون فعلي في تلك اللحظة؟
سجِّل توقُّعك أولًا. لا يظهر الشرح قبل ذلك — وهذه هي طريقة الكتاب نفسه: «ابدأ بالظاهرة، دع الأدلة تبني التفسير».
استكشف
- ما ستفعله
- تستخدم فيديو الحركة البطيئة بهاتفك لتتبُّع مقذوف أُطلق بزاوية، وتبحث عن أنماط في حركته.
- الزمن
- ١٢ دقيقة
- الأدوات
- هاتف بخاصية تصوير الحركة البطيئة (٢٤٠ إطارًا/ث) · باب له حافة رأسية واضحة · كرة من ورق مجعَّد · مسطرة
الخطوات
- ١اقذف كرة الورق بزاوية ٤٥° تقريبًا بحيث تتبع مسارًا منحنيًا عبر باب مفتوح؛ ويصورها أحد الشريكين بالحركة البطيئة مقابل حافة الباب.
- ٢تصفَّح إطارات الفيديو بالقرب من أعلى نقطة في المسار، إطارًا تلو الآخر. راقب مركبتَي الحركة كلًّا على حدة مقابل حافة الباب الثابتة.
- ٣حدِّد مركز الكرة في كل إطار، وباستخدام المقياس، قِس المسافتين الأفقية والرأسية بين المواضع المتتالية، وسجِّل ملاحظاتك.
- ٤كرِّر التجربة بزاوية إطلاق تميل أكثر على المستوى الأفقي.
| زاوية الإطلاق | التباعد الأفقي | التباعد الرأسي |
|---|---|---|
| ٤٥° تقريبًا | ||
| تميل أكثر على المستوى الأفقي |
حلّل ما جمعته
( أ ) بالنسبة لكل زاوية إطلاق، هل ظلَّت الإزاحة الأفقية لكل إطار ثابتة تقريبًا في أثناء مرور الكرة بأعلى نقطة؟
(ب) كيف تغيَّرت الحركة الرأسية أثناء مرور الكرة بأعلى نقطة؟
✍️ اكتب تفسيرك في سطرين قبل أن تقرأ الصفحة التالية.
جرِّب: أعلى نقطة
حرِّك الزمن حتى تقف على القمة تمامًا، ثم اقرأ السرعة.
الأزرق: vₓ (لا يتغيَّر أبدًا) · الأحمر: v_y (يتناقص، ينعدم، ثم ينعكس)
المركبة الأفقية vₓ
١٦٫٩٧ m/s
ثابتة طوال الحركة
المركبة الرأسية v_y
٩٫٨٠ m/s
تنعدم عند القمة وحدها
سرعة الكرة
١٩٫٦٠ m/s
حرِّك الزمن إلى القمة
زمن الصعود / زمن التحليق
١٫٠٠ / ٢٫٠٠ s
الثاني ضعف الأول دائمًا
أقصى ارتفاع
٤٫٩٠ m
المدى الأفقي
٣٣٫٩٥ m
اضبط 19.6 m/s و30°: ستقرأ 1.00 s للصعود و2.00 s للتحليق و33.95 m للمدى — إجابات المثال المحلول (ص ١٧). ثم انقل الزاوية إلى 60°: يتغيَّر كل شيء إلا المدى.
من الملاحظة إلى النموذج
في نشاط الاستكشاف، وفي أثناء فحصك للفيديو إطارًا إطارًا، استمرت الكرة في التحرك أفقيًا عبر أعلى نقطة بخطوات متساوية تقريبًا. في المقابل، تتناقص الإزاحة الرأسية بين الإطارات المتتالية مع ارتفاع الكرة، وتقترب من الصفر عند أعلى نقطة، ثم تعكس اتجاهها وتزداد مع هبوط الكرة. ولعلك توقعت أن تتوقف الكرة تمامًا عند أعلى نقطة، لكن دليل الفيديو يُظهر خلاف ذلك.
تحليل حركة المقذوفات إلى مكوناتها
حلِّل سرعة الإطلاق v₀ إلى مركبتين: المركبة الأفقية vₓ = v₀ cos θ، وبإهمال مقاومة الهواء تبقى ثابتة. أما المركبة الرأسية، فتسلك الكرة فيها تمامًا سلوك جسم يُقذف إلى أعلى — تبدأ بمقدار v_y = v₀ sin θ وتجذبها الجاذبية إلى الأسفل، فتصبح v_y = v₀ sin θ − gt وy = v₀ sin θ · t − ½gt².
وتكون الحركتان المكوِّنتان مستقلتين، في نموذج انعدام مقاومة الهواء وثبات الجاذبية فقط، ولا تشتركان إلا في الزمن t نفسه.
وعند أعلى نقطة، تصبح المركبة الرأسية للسرعة وحدها صفرًا. أما المركبة الأفقية فتبقى ثابتة، لذا لا تصل الكرة أبدًا إلى حالة سكون فعلي.
التماثل حول أعلى نقطة
تكون الحركة متماثلة حول أعلى نقطة فقط عندما يكون الإطلاق والهبوط عند الارتفاع نفسه، وبدون مقاومة الهواء. ونتيجة لذلك، يتساوى الزمن اللازم للصعود إلى أقصى ارتفاع مع الزمن اللازم للهبوط: t(تحليق) = 2 × t(أقصى ارتفاع). وبما أنه لا يوجد تسارع أفقي، تبقى السرعة الأفقية ثابتة طوال الحركة، لذا يُعطى المدى الأفقي بالعلاقة R = v₀ cos θ × t(تحليق).
نقطة
- تُعرف حركة الجسم المقذوف بزاوية بالنسبة للأفق باسم «حركة المقذوفات». يتبع الجسم مسارًا قطعيًا مكافئًا، وتُحلَّل الحركة في المستوى الرأسي إلى مركبتين: أفقية ورأسية، حيث تُعامل كل منهما كحركة خطية مستقلة.
- المركبة الأفقية: عند إهمال مقاومة الهواء، يتحرك الجسم بسرعة ثابتة تساوي المركبة الأفقية للسرعة الابتدائية v₀، أي vₓ = v₀ cos θ وx = v₀ cos θ × t. والاتجاه الرأسي: يتحرك الجسم حركة مماثلة لحركة القذف الرأسي لأعلى، بتسارع ثابت مقداره (−g) وسرعة رأسية ابتدائية مقدارها v₀ sin θ.
- في حالة الانطلاق والهبوط عند الارتفاع نفسه، ومع إهمال مقاومة الهواء، تكون الحركة متماثلة حول الخط الرأسي المار بأعلى نقطة. فإذا كان الزمن المستغرق للوصول إلى أقصى ارتفاع هو 1.2 s، فإن الزمن الكلي للحركة (زمن التحليق) يكون 2.4 s؛ وإذا كانت المسافة الأفقية المقطوعة حتى الوصول إلى أقصى ارتفاع تساوي 3.0 m، فإن المدى الأفقي الكلي يساوي 6.0 m.
صندوق المعادلات
الحركة الأفقية
a = 0 → x = v₀ cos θ · t
الحركة الرأسية
v_y = v₀ sin θ − gt , y = v₀ sin θ · t − ½gt²
زمن التحليق
t(تحليق) = 2 · t(أقصى ارتفاع)
المدى الأفقي
R = v₀ cos θ × t(تحليق)
تطبيق سريع
مثال محلول
الموقف
المعطيات والمطلوب
المطلوب: ( أ ) الزمن اللازم للوصول إلى أقصى ارتفاع. (ب) المدى الأفقي.
التمثيل
الاستراتيجية
الحل الموضح
v_y = v₀ sin θ − gt → 0 = 9.8 − 9.8t → 9.8t = 9.8 → t = 1.0 s
الزمن الكلي للطيران: 2t = 2.0 s.
(ب) المدى الأفقي:
R = v₀ cos θ · t(تحليق) = 19.6 × cos 30° × 2.0 = 33.948 ≈ 34 m
منطقية الحل
🙂 فسِّرها بنفسك
جرِّب بنفسك
الألعاب النارية التي تظل كروية
تنفجر قذيفة ألعاب نارية عاليًا فوق المدينة، فتقذف كريات متوهجة تسمى «شظايا» في جميع الاتجاهات. وتتحرك كل شظية بعد ذلك كمقذوف مستقل، وتخضع لعجلة الجاذبية نفسها (g). وبإهمال مقاومة الهواء، تتبع كل شظية مسارًا قطعًا مكافئًا بالنسبة إلى الأرض. ولأن قوة الجاذبية تكسب كل شظية العجلة نفسها، فإنها لا تغيِّر حركتها بالنسبة إلى بعضها بعضًا. وإذا قُذفت شظايا بسرعات متساوية تقريبًا في جميع الاتجاهات، فإنها تُشكِّل نمطًا كرويًا تقريبًا يتوسع.
✍️ دورك الآن
فكِّر أولًا، ثم افتح
لأن الجاذبية تضيف إلى كل شظية الإزاحة نفسها لأسفل في الزمن نفسه (½gt²). فبالنسبة إلى مركز النمط، لا شيء تغيَّر: الكرة تتمدَّد كما لو لم تكن هناك جاذبية أصلًا، بينما يهبط المركز كله معًا. وهذا هو بالضبط معنى «استقلال المركبتين» في صورة يراها الجميع كل عيد.
سؤال للربط
كيف يؤثر مجال الجاذبية في حركة جسم؟
فكِّر أولًا، ثم افتح
مجال الجاذبية يمنح كل جسم العجلة نفسها بغض النظر عن كتلته، ولذلك تكون g واحدة للشظية الثقيلة والخفيفة معًا. وهذا هو سبب بقاء نمط الألعاب النارية كرويًا، وسبب وصول العملتين معًا في الدرس السابق. وسيُستكمل هذا في الدرس ١-١٢ (قوانين كبلر والجاذبية الكونية).
طبيعة العلم — النماذج — واضع النموذج حدَّد حدوده
في كتابه «علمان جديدان» (١٦٣٨)، أثبت جاليليو أن المقذوف يتبع، في غياب مقاومة الهواء، مسارًا على شكل قطع مكافئ. وهذا هو النموذج المستخدم طوال هذا الدرس. لكنه أشار في العمل نفسه إلى أن مقاومة الهواء تجعل المسار الفعلي ينحرف عن القطع المكافئ، خصوصًا عند السرعات العالية. ولكل نموذج فيزيائي نطاق صلاحية، وقد حدَّد جاليليو نفسه حدود نموذج المقذوف الذي طوَّره.
✍️ دورك الآن
سؤال الدرس، وإجابته
عند أعلى نقطة في مسار كرة تتحرك حركة قذفية بزاوية، هل تكون الكرة في حالة سكون لحظي؟ لا تصل أبدًا إلى سكون فعلي — تصبح المركبة الرأسية للسرعة صفرًا للحظة، بينما تبقى المركبة الأفقية ثابتة (بإهمال مقاومة الهواء). وتبقى العجلة متجهة إلى الأسفل طوال الحركة. ويبدو أن الكرة تتوقف فقط لأن حركتها الرأسية تتباطأ حتى الصفر قبل أن تعكس اتجاهها؛ أما حركتها الأفقية فلا تتوقف أبدًا.
وعُد الآن إلى توقُّعك: الجواب عن (أ) هو «أقل ما يمكن لكنها ليست صفرًا»، وعن (ب) هو «نفس الوقت» — لأن الحركة متماثلة حول أعلى نقطة عندما يكون الإطلاق والهبوط عند الارتفاع نفسه.
تمرين
📝 تدريبات الدرس — على هيئة الامتحان
٥٠٪
أسئلة الاختيار من متعدد
تقيسُ المعرفةَ والدقةَ: كلمةٌ واحدةٌ تُغيِّرُ الإجابة.
٥٠٪
الأسئلة المقالية
تقيسُ الفهمَ: لا تُقبلُ إجابةٌ بلا دليلٍ وتعليلٍ.
عند أعلى نقطة في مسار مقذوف أُطلق بزاوية، أي العبارات صحيح؟
لماذا يتساوى زمن الصعود مع زمن الهبوط لمقذوف يُطلق ويهبط عند الارتفاع نفسه؟
كرة تُقذف بسرعة 20 m s⁻¹ بزاوية 30°. ما زمن التحليق؟
كرتان أُطلقتا بالسرعة نفسها، إحداهما بزاوية 30° والأخرى 60°. ما المقارنة الصحيحة؟
مقذوف أُطلق بزاوية 40°. ما مقدار المركبة الأفقية لسرعته بعد 3 ثوانٍ، إذا كانت عند الإطلاق 15 m s⁻¹؟
ما أفضل تقييم لقول: «نموذج القطع المكافئ يصف كل مقذوف حقيقي»؟
اشرح لماذا لا تصل الكرة إلى حالة سكون فعلي عند أعلى نقطة، رغم أنها تبدو متوقفة.
- خطَّةُ الإجابة:
- • حلِّل السرعة إلى مركبتين واذكر مصدر كل منهما.
- • بيِّن أن الجاذبية رأسية بحتة فتُنهي v_y وحدها.
- • اذكر أن vₓ تبقى بقيمتها الابتدائية، فالسرعة أصغر ما يمكن لا صفرًا.
قُذفت كرة بسرعة 24.5 m s⁻¹ بزاوية 30° عن الأفقي من سطح الأرض. أوجد زمن التحليق، وأقصى ارتفاع، والمدى الأفقي.
- خطَّةُ الإجابة:
- • حلِّل السرعة إلى مركبتيها.
- • زمن الصعود من v₀y ÷ g، ثم ضاعفه.
- • الارتفاع من ½gt²، والمدى من vₓ × زمن التحليق.
بيِّن، بالحساب، أن زاويتَي 30° و60° تعطيان المدى نفسه لسرعة إطلاق واحدة.
- خطَّةُ الإجابة:
- • اكتب المدى بدلالة الزاوية.
- • احسبه عند الزاويتين بالسرعة نفسها.
- • فسِّر لماذا يتساويان: ما تكسبه إحداهما في الزمن تخسره في المركبة الأفقية.
قُذفت كرة بسرعة 14.7 m s⁻¹ بزاوية 30° من أعلى برج ارتفاعه 19.6 m. أوجد الزمن حتى ترتطم بالأرض.
- خطَّةُ الإجابة:
- • احسب المركبة الرأسية وزمن الصعود وأقصى ارتفاع فوق الأرض.
- • عالج الهبوط سقوطًا حرًّا من القمة.
- • اجمع الزمنين، ونبِّه على أن التماثل لا ينطبق.
فسِّر لماذا يبقى نمط شظايا الألعاب النارية كرويًا تقريبًا رغم أن كل شظية تتبع قطعًا مكافئًا.
- خطَّةُ الإجابة:
- • اذكر أن الجاذبية تكسب كل شظية العجلة نفسها.
- • بيِّن أن الإزاحة المضافة ½gt² واحدة للجميع.
- • استنتج أن الحركة بالنسبة إلى مركز النمط لا تتأثر.
قوِّم صلاحية نموذج القطع المكافئ لوصف ركلة حرة في مباراة كرة قدم حقيقية.
- خطَّةُ الإجابة:
- • اذكر فروض النموذج.
- • اذكر ملاحظة حقيقية لا يفسرها.
- • احكم بنطاق الصلاحية لا بالصواب المطلق.
لماذا لا يقذف لاعب رمي الجلة بزاوية ٤٥°؟
يقول الحساب إن أكبر مدى يكون عند 45° — للإطلاق والهبوط عند الارتفاع نفسه. لكن الجلة تغادر يد اللاعب على ارتفاع نحو مترين فوق الأرض، أي أنها تهبط أخفضمما انطلقت. وهذا يجعل الزاوية المثلى أقل من 45° — نحو 42° عمليًا — وهو ما يفعله الرياضيون فعلًا.
📌 خلاصةُ الدرسِ في سطورٍ
- تُحلَّل حركة المقذوف بزاوية إلى مركبتين مستقلتين: vₓ = v₀ cos θ ثابتة، وv_y = v₀ sin θ − gt متغيِّرة.
- عند أعلى نقطة تنعدم v_y وحدها، وتبقى vₓ — فالكرة عند أبطأ سرعتها ولا تسكن أبدًا.
- التماثل حول القمة مشروط بتساوي ارتفاع الإطلاق والهبوط: t(تحليق) = 2 t(صعود).
- المدى R = v₀ cos θ × t(تحليق)، والزوايا المتتامة تعطي المدى نفسه.
- لكل نموذج نطاق صلاحية: جاليليو نفسه حدَّد حدود نموذج القطع المكافئ.
Keep reading — this lesson marks itself done automatically.