الفيزياء · الفصل الأول — الميكانيكا (القوى والحركة)
متجهات السرعة والسرعة النسبية
سؤال الدرس
لماذا ترسو عبّارة موجَّهة مباشرةً عبر النيل عند نقطة في اتجاه مصب النيل بمسافة؟
ولماذا يترك المطر المتساقط خطوطًا مائلة على نافذة حافلة متحركة؟
ستتعلم أن
بنهاية هذا الدرس، ستكون قادرًا على أن:
- ١تشرح كيف تتراكب سرعتان لعمل سرعة محصلة واحدة.
- ٢تحسب المركبتين المتعامدتين لسرعةٍ ما وتعيد تركيبهما.
- ٣تحدِّد سرعة جسم كما يراها مراقب متحرك.
الظاهرة — توقَّع قبل أن تستمر
توجِّه عبّارة النيل مقدمتها مباشرةً نحو نقطة الرسو على الضفة المقابلة. لا يتغيَّر أداء المحرك أبدًا، ولا تنحرف المقدمة أبدًا — ومع ذلك ترسو العبّارة عند نقطة أسفل مصب النهر بمسافة عن الهدف الذي توجَّهت إليه. وفي صباح اليوم نفسه، وأنت في الأتوبيس، يسقط المطر رأسيًا تمامًا، لكن الخطوط التي يتركها على نافذتك تكون مائلة. مُلاحظتان كل يوم، ومبدأ واحد كامن وراءهما.
سجِّل توقُّعك أولًا. لا يظهر الشرح قبل ذلك — وهذه هي طريقة الكتاب نفسه: «ابدأ بالظاهرة، دع الأدلة تبني التفسير».
استكشف
- ما ستفعله
- تقيس أطوالًا وتحدِّد نمطًا.
- الزمن
- ١٢ دقيقة
- الأدوات
- ورقة مقاس A4 · مسطرة بها مجرى · قلم · قلم رصاص
الخطوات
- ١يُمسك الزميل (أ) الورقة مسطَّحة تحت المسطرة. وعند الإشارة المتفق عليها، يسحب الورقة في خط مستقيم نحو صدره — بزاوية قائمة على المسطرة — بسرعة بطيئة ومنتظمة.
- ٢في التوقيت نفسه، يحرِّك الزميل (ب) القلم على طول المسطرة بسرعة بطيئة ومنتظمة، ويقوم بالرسم طوال الوقت.
- ٣توقَّفا معًا. قيسا المسافة التي تحرَّكها القلم على طول المسطرة (مسافة العبور)، والمسافة التي سُحبت بها الورقة (مسافة السحب). ثم قيسا طول المسار المائل المتروك على الورقة.
- ٤كرِّرا التجربة مرتين أخريين: مرة بسحب الورقة أسرع، ومرة بتحريك القلم أسرع.
| المحاولة | العبور (a) (cm) | السحب (b) (cm) | المسار المائل المقاس (c) (cm) | √((السحب)² + (العبور)²) (cm) |
|---|---|---|---|---|
| ١ | ||||
| ٢ (سحب الورقة أسرع) | ||||
| ٣ (تحريك القلم أسرع) |
حلّل ما جمعته
( أ ) قارن بين العمودين الأخيرين، محاولةً بمحاولة. ما النمط الذي توضحه الأرقام؟
(ب) يتحرك القلم على طول المسطرة فقط، بينما تُسحب الورقة في خط مستقيم لأسفل. كيف تتراكب هاتان الحركتان لتنتجا المسار المائل؟
✍️ اكتب تفسيرك في سطرين قبل أن تقرأ الصفحة التالية.
جرِّب: عبور النهر
وجِّه مقدمة القارب عموديًا على الضفة، ثم غيِّر سرعة التيار وراقب الزمن.
الأزرق: العبور · البرتقالي: الانحراف مع التيار · الأحمر: المسار الحقيقي
زمن العبور
١٥٫٠ s
لا يتأثر بالتيار إطلاقًا
مسافة الانحراف
٤٥٫٠ m
هذا وحده ما يفعله التيار
السرعة المحصلة
٥٫٠ m/s
الزاوية مع الضفة ٥٣٫١°
اضبط سرعة القارب على 4.0 والتيار على 3.0 — ستقرأ السرعة المحصلة 5.0 m/s، وهي نفسها الإجابة المطبوعة في المثال المحلول (ص ٥). الجهاز يحسبها بنفسه، فأنت تراجع الكتاب به، لا العكس.
من الملاحظة إلى النموذج
في نشاط الاستكشاف، تحرَّك قلم الحبر على طول المسطرة فقط، ومع ذلك جاء مساره على الورقة مائلًا. ودائمًا ما يتطابق طول المسار المائل المقاس مع القيمة √((السحب)² + (العبور)²)، لا مع مجرد المجموع البسيط (الجمع الجبري) لمسافتَي العبور والسحب.
السرعة كمية متجهة
تصف كلمة السرعة (velocity) مقدار سرعة الجسم والاتجاه الذي يتحرك فيه معًا — فهي كمية متجهة تُمثَّل بسهم. وأحيانًا يكون لجسم واحد مركبتا سرعة: كقاربٍ يدفعه محركه بينما يحمله تيار النهر في الوقت نفسه. عندئذٍ يتراكب السهمان من الرأس إلى الذيل ليكوِّنا سرعة محصلة واحدة: v = v₁ + v₂.
وهذا هو جمع المتجهات (الجمع الاتجاهي)، وهي عملية هندسية لا حسابية. يجب جمع متجهات السرعة هندسيًا لإيجاد المحصلة؛ ولا يصح الجمع الجبري البسيط للمقادير إلا عندما تكون المتجهات على استقامة واحدة.
تحليل السرعة إلى المركبتين
يمكن تحليل أي سرعة إلى مركبتين متعامدتين: vx = v cos θ على أحد المحورين، وvy = v sin θ على المحور الآخر. مركبة العبور وحدها هي التي تحدِّد زمن العبور، بينما تحدِّد المركبة الطولية مقدار الانجراف مع مجرى النهر. عامِل كل محور على حدة، ثم أعِد التركيب باستخدام v = √((vx)² + (vy)²).
نقطة
- لتكن v₁ سرعة قارب في مياه ساكنة وv₂ سرعة التيار؛ وتكون سرعة القارب بالنسبة للضفة هي v = v₁ + v₂، حيث يتم دمج المتجهات هندسيًا وليس مجرد جمع مقاديرها. وتُعرف عملية إيجادها بـ «جمع السرعات».
- وفي المقابل، يمكن تحليل v إلى v₁ وv₂، وتُسمَّى هذه العملية «تحليل السرعة إلى مركبات»: إذا كانت v هي المقدار وθ الزاوية بين v ومحور x، فإن vx = v cos θ وvy = v sin θ. وتُعطى إشارة موجبة أو سالبة لمقدار كل مركبة للدلالة على اتجاهها على طول محورها.
- لتكن vA سرعة الجسم A وvB سرعة الجسم B. وتكون سرعة B كما يراها A هي السرعة النسبية vAB = vB − vA — أي سرعة الجسم المرصود مطروحًا منها سرعة المراقب.
من الملاحظة إلى النموذج
ماذا يرى المراقب المتحرك
الآن اعتبر أن مراقبًا على متن جسم متحرك. فكما تُرى الأمور من القطار A، تختلف السرعة المقاسة بمقدار سرعة المراقب. والسرعة النسبية لـ B بالنسبة إلى A هي سرعة B مطروحًا منها سرعة A: vAB = vB − vA، ويُرسم كلا السهمين من نقطة أصل مشتركة. فالمطر في إطار الأرض يسقط رأسيًا تمامًا، لكن بطرح السرعة الخاصة بالقطار المتحرك من سرعة سقوط المطر، يميل سهم الفرق إلى الخلف.
وهذه هي إجابة الجزء (ب) من توقُّعك: الخطوط تبدو قادمة من أمام الأتوبيس، لأن اتجاه حركتك يُطرح من سرعة المطر.
صندوق المعادلات
مركبتا السرعة
vₓ = v cos θ · v_y = v sin θ
مقدار السرعة المحصلة
v = √( (vₓ)² + (v_y)² )
السرعة النسبية لـ B بالنسبة إلى A
v_AB = v_B − v_A
مثال محلول
الموقف
المعطيات والمطلوب
المطلوب: سرعة القارب بالنسبة إلى ضفة النهر.
التمثيل
الاستراتيجية
الحل الموضح
عبر النهر: v_y = 4.0 m s⁻¹
v = √(3.0² + 4.0²) = √25 = 5 m s⁻¹
إذن، سرعة القارب بالنسبة إلى ضفة النهر هي 5.0 m s⁻¹.
منطقية الحل
🙂 فسِّرها بنفسك
تطبيق سريع
جرِّب بنفسك
الهبوط عبر الرياح
في ظهيرة يوم عاصف بمطار برج العرب، تهب الرياح عبر المدرج بينما يستعد الطيار للهبوط. لو كانت الطائرة موجهة بشكل مستقيم في اتجاه المدرج، لدفعتها الرياح الجانبية بعيدًا عن خط الوسط — وهي المشكلة التي واجهتها العبّارة في مجرى النهر. لذا، يوجه الطيار الطائرة قليلًا في اتجاه الرياح، وتعطي سرعة الطائرة في الهواء، من مقدمة الطائرة إلى مؤخرتها، مضافًا إليها سرعة الرياح، نتيجةً موجهة مباشرة على طول المدرج.
وبسرعة اقتراب تبلغ 220 km h⁻¹ ورياح جانبية تبلغ 40 km h⁻¹، تكون (زاوية الانحراف) حوالي 10°، والمسار المحصل على طول المدرج≈ 216 km h⁻¹.
من أين جاء الرقمان؟
sin θ = 40 / 220 = 0.1818 → θ ≈ 10.5°، وهو ما يقرِّبه الكتاب إلى 10°. والمركبة الباقية على طول المدرج = 220 × cos 10.5° ≈ 216 km h⁻¹. الرياح لم «تُبطئ» الطائرة: هي فقط أخذت جزءًا من سرعتها جانبًا.
✍️ دورك الآن
طبيعة العلم — السفينة التي أخفت حركتها
في عام ١٦٣٢، تخيَّل جاليليو مقصورة أسفل سطح سفينة تُبحر بهدوء: ماء يتساقط، وأسماك في وعاء، وفراشات تحوم. فلا توجد أي ملاحظة داخل المقصورة تكشف ما إذا كانت السفينة ساكنة أم تتحرك بسرعة منتظمة. فما يقيسه المراقب يعتمد على حركة المراقب نفسه — هو نفس الدرس المستفاد من المطر المتساقط على نافذة الأتوبيس (الحافلة). ولا تكون السرعة ذات معنى إلا عندما يتم تحديد الإطار المرجعي.
✍️ دورك الآن
سؤال الدرس، وإجابته
سرعة العبّارة بالنسبة إلى الأرض هي المحصلة لكلٍ من سرعتها في الماء الساكن وسرعة تيار النهر، من مقدمة العبّارة إلى مؤخرتها. لذا يميل مسارها باتجاه مجرى النهر رغم أن مقدمتها لا تنحرف أبدًا.
أما المطر كما يراه راكب الأتوبيس (الحافلة)، فهو سرعة المطر بالنسبة إلى الأرض مطروحًا منها سرعة الأتوبيس — ولذلك فإن المطر الذي يكون عموديًا (رأسيًا) في الإطار المرجعي للأرض يبدو مائلًا للمراقب من داخل الحافلة.
وعُد الآن إلى توقُّعك الأول: زمن العبور لا يتغيَّر مهما زاد التيار، لأن التيار لا يملك أي مركبة في اتجاه العبور. ما يزيد هو مسافة الانحراف وحدها.
تمرين
(ii) وبالنسبة لمراقب ينظر من نافذة القطار B الذي يمر بجانب القطار A، يبدو المطر ساقطًا بزاوية 60° الرأسي. أوجد سرعة القطار B.
تمرين
📝 تدريبات الدرس — على هيئة الامتحان
٥٠٪
أسئلة الاختيار من متعدد
تقيسُ المعرفةَ والدقةَ: كلمةٌ واحدةٌ تُغيِّرُ الإجابة.
٥٠٪
الأسئلة المقالية
تقيسُ الفهمَ: لا تُقبلُ إجابةٌ بلا دليلٍ وتعليلٍ.
ما الذي يجعل جمع سرعتين متعامدتين جمعًا هندسيًا لا جبريًا؟
قارب يعبر نهرًا ومقدمته عمودية على الضفة. زاد التيار إلى الضعف. ماذا يحدث لزمن العبور؟
طائرة تطير بسرعة 100 m s⁻¹ بزاوية 60° على الأفقي. ما مركبتها الأفقية؟
سيارتان تتحركان شرقًا بالسرعة نفسها. ما السرعة النسبية للثانية بالنسبة إلى الأولى؟
يبدو المطر مائلًا بزاوية أكبر عن الرأسي لراكب قطار أسرع. ما التفسير؟
طالب حسب سرعة قارب بالنسبة للضفة فجمع 4.0 و3.0 وكتب 7.0 m s⁻¹. ما أدق وصف لخطئه؟
اشرح لماذا لا يتغيَّر زمن عبور النهر بتغيُّر سرعة التيار، مستعينًا بفكرة المركبتين.
- خطَّةُ الإجابة:
- • حدِّد الاتجاهين المتعامدين: عبر النهر، وعلى طول النهر.
- • اذكر أن التيار موازٍ للضفة فمركبته في اتجاه العبور تساوي صفرًا.
- • اكتب أن زمن العبور = عرض النهر ÷ مركبة العبور، وأن هذه المركبة لم تتغيَّر.
قارب سرعته 8.0 m s⁻¹ في الماء الساكن يعبر نهرًا عرضه 48 m، وسرعة تياره 6.0 m s⁻¹، ومقدمته عمودية على الضفة. أوجد: زمن العبور، ومسافة الانحراف، وسرعة القارب بالنسبة إلى الضفة.
- خطَّةُ الإجابة:
- • زمن العبور من مركبة العبور وحدها.
- • مسافة الانحراف = سرعة التيار × زمن العبور.
- • السرعة بالنسبة للضفة بجمع المركبتين هندسيًا.
بيِّن كيف يمكن لمراقبَين أن يسجِّلا لقطرة المطر نفسها سرعتين مختلفتين دون أن يكون أحدهما مخطئًا.
- خطَّةُ الإجابة:
- • عرِّف الإطار المرجعي.
- • اكتب v_AB = v_B − v_A وطبِّقها على مراقب ساكن وآخر متحرك.
- • اربطها بمقصورة جاليليو: لا تجربة داخلية تكشف الحركة المنتظمة.
طائرة سرعتها في الهواء 200 km h⁻¹، وتهب رياح جانبية 50 km h⁻¹ عمودية على اتجاه المدرج. أوجد زاوية الانحراف ومقدار المركبة الباقية على طول المدرج.
- خطَّةُ الإجابة:
- • ارسم مثلثًا قائمًا: سرعة الطائرة وترًا، والرياح ضلعًا عموديًا.
- • sin θ = مركبة الرياح ÷ سرعة الطائرة.
- • المركبة على طول المدرج = v cos θ.
متى يصح الجمع الجبري البسيط لمقادير السرعات، ومتى لا يصح؟ اذكر مثالًا لكل حالة.
- خطَّةُ الإجابة:
- • اذكر شرط الاستقامة الواحدة.
- • مثال للجمع الجبري ومثال للجمع الاتجاهي.
- • اربط بالنتيجة العددية للفرق بين الحالتين.
قال طالب: «ما دام المسار المائل أطول من عرض النهر، فلا بد أن العبور يستغرق زمنًا أطول». قوِّم هذه العبارة.
- خطَّةُ الإجابة:
- • وضِّح ما هو الصحيح في العبارة.
- • بيِّن الخطأ: المسار أطول لكن السرعة على طوله أكبر بالنسبة نفسها.
- • ادعم بمثال عددي.
لماذا تُقلع الطائرات عكس اتجاه الرياح؟
الفكرة نفسها، خارج نص الكتاب: تحتاج الطائرة إلى سرعة معينة بالنسبة إلى الهواء كي ترتفع، لا بالنسبة إلى الأرض. فإذا أقلعت عكس الرياح، أضافت سرعة الرياح إلى سرعتها الهوائية مجانًا، فبلغت سرعة الإقلاع على مدرج أقصر.
📌 خلاصةُ الدرسِ في سطورٍ
- السرعة كمية متجهة: مقدارٌ واتجاه، ولا تُجمع إلا هندسيًا.
- مركبتا السرعة: vₓ = v cos θ وv_y = v sin θ، وتُعاد المحصلة بـ v = √(vₓ² + v_y²).
- المركبتان المتعامدتان مستقلتان: مركبة العبور وحدها تحدِّد زمن العبور، ومركبة التيار وحدها تحدِّد الانحراف.
- السرعة النسبية: v_AB = v_B − v_A — سرعة المرصود مطروحًا منها سرعة المراقب.
- لا معنى للسرعة بغير إطار مرجعي: مراقبان مختلفان يقيسان قيمتين مختلفتين، وكلاهما مصيب.
Keep reading — this lesson marks itself done automatically.